Persamaan eksponen


Soal persamaan eksponen.

1. Bila x_{1} dan x_{2} penyelesaian dari persamaan 2^{2x}-6.2^{x+1}+32=0 dengan x_{1}>x_{2}. maka nilai dari 2x_{1}+x_{2}=.... (UAN 2009)

Pembahasan.
misalkan 2^{x} = p, maka persamaan 2^{2x}-6.2^{x+1}+32=0 , kita ubah menjadi
\left(2^{x}\right)^{2}- 6.2^{x}.2 + 32 = 0
\left(2^{x}\right)^{2}- 12.2^{x} + 32 = 0
subtitusi 2^{x}=p pada persamaan diatas, sehingga menjadi
p^{2}-12p+32=0,
(p-8)(p-4)=0
kita dapatkan p = 8 atau p = 4.
untuk p = 8 , 2^{x}=8 , x = 3 dan
p = 4, 2^{x}= 4, x = 2, karena x_{1}>x_{2}, maka nilai dari 2x_{1}+x_{2}= 2.3 +2 = 8

2. Diketahui 2^{2x}+2^{-2x}=23. Nilai 2^{x}+2^{-x} = ... (UAN 2001)

Pembahasan

Ingat bentuk \left(a+b\right)^{2}= a^{2}+2a.b+b^{2}, sehingga kita dapatkan :

\left(2^{x}+2^{-x}\right)^{2}=\left(2^{x}\right)^{2}+2.2^{x}.2^{-x}+\left(2^{-x}\right)^{2}

\left(2^{x}+2^{-x}\right)^{2}= \left(2^{x}\right)^{2}+\left(2^{-x}\right)^{2}+2.2^{x-x}

\left(2^{x}+2^{-x}\right)^{2}= 2^{2x}+2^{-2x}+ 2.1

\left(2^{x}+2^{-x}\right)^{2}= 23 + 2 =25

jadi \left(2^{x}+2^{-x}\right)^{2}=25 sehingga nilai dari
2^{x}+2^{-x} = \pm 5
karena 2^{x}> 0, maka nilai dari 2^{x}+2^{-x} =  5

3. Himpunan penyelesaian dari 8^{x-1}=32^{5 + 2x} adalah …. (EBT 91).

Pembahasan.

Penyelesaian soal ini dengan merubah 8 dan 32 menjadi bilangan 2^{3} dan 2^{5}
8^{x-1}=32^{5 + 2x}

\left(2^{3}\right)^{x-1}=\left(2^{5}\right)^{5 + 2x}

2^{3x-3}=2^{25+10x} sehingga kita dapatkan

3x - 3 = 25 + 10x
-7x = 28
x = -4
Jadi penyelesaiannya adalah {-4}.

4. Penyelesaian persamaan 3^{2x^{2}+5x-3}=27^{2x+3} adalah \alpha dan \beta . Nilai dari \alpha \times \beta adalah ….

Pembahasan.

Penyelesaian ini dengan merubah 27 menjadi bilangan berpangkat yaitu 3^{3}. sehingga kedua ruas mempunyai bilangan pokok yang sama yaitu 3.

3^{2x^{2}+5x-3}=27^{2x+3}

3^{2x^{2}+5x-3}=3^{3^{2x+3}}

3^{2x^{2}+5x-3}=3^{6x+9}
sehingga kita dapatkan persamaan:

2x^{2}+5x-3=6x+9

2x^{2}-x-12=0, kita ingat jika \alpha dan \beta adalah solusi dari persamaan di atas, maka kita dapatkan
\alpha \times \beta = \frac{c}{a}. (jumlh dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat).
dari persamaan 2x^{2}-x-12=0, didapat a = 2, b = -1 dan c = -12, sehingga
\alpha \times \beta = \frac{-12}{2}= -6 .

Jadi nilai dari \alpha \times \beta = -6 .

About these ads

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s