Menghitung nilai perbandingan trigonometri dengan menggunakan rumus jumlah dan selisih dua sudut serta jumlah dan selisih sinus, kosinus dan tangen


Indikator no. 23

Menghitung nilai perbandingan trigonometri dengan menggunakan rumus jumlah dan selisih dua sudut serta jumlah dan selisih sinus, kosinus dan tangen

Materi yang Perlu diingat :

A. Jumlah dan Selisih Dua Sudut
1) sin (A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B
2) cos (A ± B) = cos A cos B ± sin A sin B

3) \tan(A\pm B)=\frac{\tan A\pm \tan B}{1\mp\tan A.\tan B}

B. Perkalian Sinus dan Kosinus
1) 2sin A cos B = sin(A + B) + sin(A – B)
sin A cos B = ½{sin(A + B) + sin(A – B)}
2) 2cos A sin B = sin(A + B) – sin(A – B)
cos A sin B = ½{sin(A + B) – sin(A – B)}
3) 2cos A cos B = cos(A + B) + cos(A – B)
cos A cos B = ½{cos(A + B) + cos(A – B)}
4) –2sin A sin B = cos(A + B) – cos(A – B)
sin A sin B = –½{cos(A + B) – cos(A – B)}

C. Penjumlahan dan Pengurangan Sinus, Kosinus dan Tangen
1) sin A + sin B = 2sin ½ (A + B) · cos ½(A – B)
2) sin A – sin B = 2cos½ (A + B) · sin ½(A – B)
3) cos A + cos B = 2cos½ (A + B) · cos ½(A – B)
4) cos A – cos B = –2sin½ (A + B) · sin½(A – B)

5). \tan A + \tan B=\frac{\sin (A+ B)}{\cos A.\cos B}

6). \tan A - \tan B=\frac{\sin (A - B)}{\cos A.\cos B}

Soal-soal.

1. UN 2010

Diketahui p dan q adalah sudut lancip dan p – q = 30°. Jika cos p sin q = 1/6 , maka nilai
dari sin p cos q = …

a. 1/6.        b. 2/6      c. 3/6        d. 4/6     e. 5/6

Penyelesaian:

p – q = 30°

sin (p – q)= sin 30°

sin p cos q – cos p sin q = ½

sin p cos q – 1/6 = ½

sin p cos q = ½ + 1/6 = 4/6

jadi nilai sin p cos q = 4/6

2. UN 2009

Pada segitiga ABC lancip, diketahui cos A = 4/5 dan sin B =12/ 13 , maka sin C = ….

a. 20/65     b. 36/65   c. 56/65   d. 60/65   e. 63/65

Penyelesaian :

Kaena segitiga ABC lancip , maka sudut A,B dan C juga lancip, sehingga :

cos A = 4/5, maka sin A = 3/5,  (ingat cosami, sindemi dan tandesa)

sin B = 12/13, maka cos  B = 5/13

A + B + C = 180°,  (jml sudut -sudut dalam satu segitiga = 180)

A + B = 180 – C

sin (A + B) = sin (180 – C)

sin A . cos B + cos A.sin B = sin C, ( ingat sudut yang saling berelasi : sin(180-x) = sin x)

sin C = sin A.cos B + cos A.sin B

sin C = 3/5.5/13 + 4/5.12/13

sin C = 15/65 + 48/65 = 63/65

3. UN 2010

Hasil dari \frac{\cos (45-\alpha)^{o}+\cos (45+\alpha)^{o}}{\sin (45+\alpha)^{o}+\sin (45-\alpha)^{o}} adalah ….

a. -√2     b. -1    c. ½√2    d. 1   e. √2

Penyelesaian:

\frac{\cos (45-\alpha)^{o}+\cos (45+\alpha)^{o}}{\sin (45+\alpha)^{o}+\sin (45-\alpha)^{o}}

= \frac{2\cos \frac{1}{2}((45-\alpha)+(45+\alpha))\cos \frac{1}{2}((45-\alpha)-(45+\alpha))}{2\sin \frac{1}{2}((45+\alpha)+(45-\alpha))\cos\frac{1}{2}((45+\alpha)-(45-\alpha))}

\frac{2\cos \frac{1}{2}(90)\cos \frac{1}{2}(-2 \alpha)}{2\sin \frac{1}{2}(90)\cos\frac{1}{2}(2\alpha)}

=\frac{2\cos 45 \cos (-\alpha)}{2\sin 45 \cos(\alpha)}

= \tan 45^{0}= 1

Jadi nilai dari \frac{\cos (45-\alpha)^{o}+\cos (45+\alpha)^{o}}{\sin (45+\alpha)^{o}+\sin (45-\alpha)^{o}}= 1

4. UN 2010

Hasil dari \frac{\sin 27^{0}+\sin 63^{0}}{\cos 138^{0}+\cos 102^{0}}=....

a. -√2    b.   -½√2    c. 1     d. ½√2   e,  √2

Penyelesaian .

\frac{\sin 27^{0}+\sin 63^{0}}{\cos 138^{0}+\cos 102^{0}}

=\frac{2\sin \frac{1}{2}(27+63)^{0}\cos \frac{1}{2}(27-63)^{0}}{2\cos \frac{1}{2}(138+102)^{0}\cos \frac{1}{2}(138-102)^{0}}

= =\frac{2\sin \frac{1}{2}(90)^{0}\cos \frac{1}{2}(-36)^{0}}{2\cos \frac{1}{2}(240)^{0}\cos \frac{1}{2}(36)^{0}}

=\frac{2\sin (45)^{0}\cos (-18)^{0}}{2\cos (120)^{0}\cos (18)^{0}}, (ingat ,  cos x = cos (-x))

=\frac{2.\frac{1}{2}\sqrt{2} }{2.-\frac{1}{2}}=-\sqrt{2}.

Jadi nilai dari \frac{\sin 27^{0}+\sin 63^{0}}{\cos 138^{0}+\cos 102^{0}}= -\sqrt{2}.

5. UN 2010.

Diketahui tan α – tan β = 1/3 dan  cos α cos β = 48/65 , (α , β lancip). Nilai sin (α – β) = …

a. 63/65   b. 33/65   c. 26/65   d. 16/48   e. 16/65

Penyelesaian

ingat \tan A - \tan B=\frac{\sin (A - B)}{\cos A.\cos B}

\frac{1}{3}=\frac{\sin (\alpha -\beta)}{\frac{48}{65}}

\sin (\alpha-\beta)=\frac{1}{3}.\frac{48}{65}= \frac{16}{65}

jadi nilai dari Nilai sin (α – β) =16/65.

About these ads

4 thoughts on “Menghitung nilai perbandingan trigonometri dengan menggunakan rumus jumlah dan selisih dua sudut serta jumlah dan selisih sinus, kosinus dan tangen

Berikan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s