Latihan soal Olimpiade (aljabar)


Setelah UN 2011 selesai di gelar, saatnya latihan soal olimpiade untuk persiapan OSN 2011, soal-soal ini diambil dari diktat yang disusun oleh Bpk. Eddy Hermanto, ST.

Latihan 1 ( Barisan dan deret)

  1. (OSK 2006) Pada sebuah barisan aritmetika, nilai suku ke-25 tiga kali nilai suku ke-5. Suku yang bernilai dua kali nilai suku pertama adalah suku ke ….

Penyelesaian :

U25 = 3.U5

a + 24 b = 3 ( a + 4b)=3a + 12b

-2a = -12b

a = 6b

Un = 2a = a +(n-1) b.

a = (n-1).a/6 ( dikalikan 6/a)

6 = n-1

n = 7

Jadi suku ke-7 nilainya dua kali suku pertama

2. (OSK 2009) Jika x_{k+1}=x_{k}+\frac{1}{2} untuk k = 1,2,3,.. dan x_{1}=1. Maka x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{400}=...

Penyelesaian:

x_{1}=1

x_{2}= x_{1}+\frac{1}{2} = \frac{3}{2}

x_{3}=x_{2} +\frac{1}{2}=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=2

sehingga x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{400}= 1+\frac{3}{2}+2+...+x_{400} adalah deret aritmetika dengan a = 1, b = ½ dan n = 400

S_{400}=\frac{400}{2}\left(2.1+(400-1)\frac{1}{2}\right)

S_{400}= 200\left(2+\frac{399}{2}\right)=200\left(\frac{4+399}{2}\right)=100(403)=40300

jadi x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{400}=40.300

3. Misalkan f adalah fungsi yang memenuhi f(n)=f(n-1)+\frac{n}{2007}, untuk setiap n bilangan asli dan f(0) = 1945. maka tentuka f(2007).

Penyelesaian :

f(n)=f(n-1)+\frac{n}{2007}

untuk n = 1, f(1)=f(0)+\frac{1}{2007}=1945+\frac{1}{2007}

untuk n = 2, f(2)=f(1)+\frac{2}{2007}=1945+\frac{1}{2007}+\frac{2}{2007}

untuk n = 3, f(3)= f(2) + \frac{3}{2007} = 1945 + \frac{1}{2007}+\frac{2}{2007}+\frac{3}{2007}

dan seterusnya…

maka untuk n = 2007, f(2007) = f(2006)+\frac{2007}{2007}=1945+\frac{1}{2007}+\frac{2}{2007}+...+\frac{2007}{2007}
1+2+3+...+2007=\frac{2007}{2}(1+2007)= 2007.1004
f(2007) = 1945 + \frac{1}{2007}(2007.1004)= 1945+1004=2949

jadi f(2007) = 2949.

About these ads

Berikan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s