Persamaan eksponen

Soal persamaan eksponen.

1. Bila x_{1} dan x_{2} penyelesaian dari persamaan 2^{2x}-6.2^{x+1}+32=0 dengan x_{1}>x_{2}. maka nilai dari 2x_{1}+x_{2}=.... (UAN 2009)

Pembahasan.
misalkan 2^{x} = p, maka persamaan 2^{2x}-6.2^{x+1}+32=0 , kita ubah menjadi
\left(2^{x}\right)^{2}- 6.2^{x}.2 + 32 = 0
\left(2^{x}\right)^{2}- 12.2^{x} + 32 = 0
subtitusi 2^{x}=p pada persamaan diatas, sehingga menjadi
p^{2}-12p+32=0,
(p-8)(p-4)=0
kita dapatkan p = 8 atau p = 4.
untuk p = 8 , 2^{x}=8 , x = 3 dan
p = 4, 2^{x}= 4, x = 2, karena x_{1}>x_{2}, maka nilai dari 2x_{1}+x_{2}= 2.3 +2 = 8

2. Diketahui 2^{2x}+2^{-2x}=23. Nilai 2^{x}+2^{-x} = ... (UAN 2001)

Pembahasan

Ingat bentuk \left(a+b\right)^{2}= a^{2}+2a.b+b^{2}, sehingga kita dapatkan :

\left(2^{x}+2^{-x}\right)^{2}=\left(2^{x}\right)^{2}+2.2^{x}.2^{-x}+\left(2^{-x}\right)^{2}

\left(2^{x}+2^{-x}\right)^{2}= \left(2^{x}\right)^{2}+\left(2^{-x}\right)^{2}+2.2^{x-x}

\left(2^{x}+2^{-x}\right)^{2}= 2^{2x}+2^{-2x}+ 2.1

\left(2^{x}+2^{-x}\right)^{2}= 23 + 2 =25

jadi \left(2^{x}+2^{-x}\right)^{2}=25 sehingga nilai dari
2^{x}+2^{-x} = \pm 5
karena 2^{x}> 0, maka nilai dari 2^{x}+2^{-x} =  5

3. Himpunan penyelesaian dari 8^{x-1}=32^{5 + 2x} adalah …. (EBT 91).

Pembahasan.

Penyelesaian soal ini dengan merubah 8 dan 32 menjadi bilangan 2^{3} dan 2^{5}
8^{x-1}=32^{5 + 2x}

\left(2^{3}\right)^{x-1}=\left(2^{5}\right)^{5 + 2x}

2^{3x-3}=2^{25+10x} sehingga kita dapatkan

3x - 3 = 25 + 10x
-7x = 28
x = -4
Jadi penyelesaiannya adalah {-4}.

4. Penyelesaian persamaan 3^{2x^{2}+5x-3}=27^{2x+3} adalah \alpha dan \beta . Nilai dari \alpha \times \beta adalah ….

Pembahasan.

Penyelesaian ini dengan merubah 27 menjadi bilangan berpangkat yaitu 3^{3}. sehingga kedua ruas mempunyai bilangan pokok yang sama yaitu 3.

3^{2x^{2}+5x-3}=27^{2x+3}

3^{2x^{2}+5x-3}=3^{3^{2x+3}}

3^{2x^{2}+5x-3}=3^{6x+9}
sehingga kita dapatkan persamaan:

2x^{2}+5x-3=6x+9

2x^{2}-x-12=0, kita ingat jika \alpha dan \beta adalah solusi dari persamaan di atas, maka kita dapatkan
\alpha \times \beta = \frac{c}{a}. (jumlh dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat).
dari persamaan 2x^{2}-x-12=0, didapat a = 2, b = -1 dan c = -12, sehingga
\alpha \times \beta = \frac{-12}{2}= -6 .

Jadi nilai dari \alpha \times \beta = -6 .

soal bentuk akar

1. Nilai dari {}^{3}\sqrt{5+2\sqrt{13}}+{}^{3}\sqrt{5-2\sqrt{13}} = .....

Pembahasan.

Misal 5+2\sqrt{13} = a, 5-2\sqrt{13}=b dan {}^{3}\sqrt{5+2\sqrt{13}}+{}^{3}\sqrt{5-2\sqrt{13}}=p,
a+b = 10, ab = -27
sehingga {}^{3}\sqrt{a}+{}^{3}\sqrt{b}=p.
kedua ruas dipangkatkan 3
perlu diingat;\left(a+b\right)^3=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3},
shingga :
\left({}^{3}\sqrt{a}+{}^{3}\sqrt{b}\right)^3=p^{3}
\left({}^{3}\sqrt{a}\right)^{3}+3\left({}^{3}\sqrt{a}\right)^{2}\left({}^{3}\sqrt{b}\right)+3\left({}^{3}\sqrt{a}\right)\left({}^{3}\sqrt{b}\right)^{2}+\left({}^{3}\sqrt{b}\right)^{3}=p^{3}
a +b +3 ({}^3{}\sqrt{a})({}^{3}\sqrt{b})\left({}^3{}\sqrt{a}+{}^{3}\sqrt{b}\right)=p^{3}.
10 +3 ({}^{3}\sqrt{ab})p = p^{3}.
10 + 3({}^3{}\sqrt{-27}) p = p^{3}
10 - 9p = p^{3}
p^{3} + 9p - 10 = 0
(p-1)(p^{2}+p + 10) = 0.
p = 1 .
jadi nilai dari {}^{3}\sqrt{5+2\sqrt{13}}+{}^{3}\sqrt{5-2\sqrt{13}} = 1

2. \sqrt{1+\sqrt{3+\sqrt{13+4\sqrt{3}}}} = .....

Pembahasan.
untuk menjawab soal ini ingat \sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}= \sqrt{a} + \sqrt{b}. sehingga

\sqrt{1+\sqrt{3+\sqrt{13+4\sqrt{3}}}}

=  \sqrt{1+\sqrt{3+\sqrt{13+2\sqrt{12}}}}

=  \sqrt{1+\sqrt{3+\sqrt{(1+12)+\sqrt{1.12}}}}

=  \sqrt{1+\sqrt{3+\sqrt{1}+\sqrt{12}}}

=  \sqrt{1+\sqrt{(1+3)+2\sqrt{1.3}}}

=  \sqrt{1+\sqrt{1}+\sqrt{3}}

=  \sqrt{2+\sqrt{3}}

=  \sqrt{\frac{1}{4}(8+4\sqrt{3})}

=  \sqrt{\frac{1}{4}(8+2\sqrt{12})}

=  \sqrt{\frac{1}{4}}\sqrt{(2+6)+2\sqrt{2.6})}

=  \frac{1}{2}\left(\sqrt{2}+\sqrt{6}\right)

jadi \sqrt{1+\sqrt{3+\sqrt{13+4\sqrt{3}}}} = \frac{1}{2}\left(\sqrt{2}+\sqrt{6}\right)

3. \frac{1}{3-\sqrt{8}}-\frac{1}{\sqrt{8}-\sqrt{7}}+\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}-\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}-2}=....

Pembahasan:
Soal ini dapat diselesaikan dengan mengalikan sekawan dari masing-masing suku. baik kita mulai dari suku pertama:

\frac{1}{3-\sqrt{8}}= \frac{1}{3-\sqrt{8}}.\frac{3+\sqrt{8}}{3+\sqrt{8}}=\frac{3+\sqrt{8}}{9-8}

jadi \frac{1}{3-\sqrt{8}}= 3+\sqrt{8}

dengan cara yang sama kita dapatkan :
\frac{1}{\sqrt{8}-\sqrt{7}}= \sqrt{8}+\sqrt{7}

\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}} = \sqrt{7}+\sqrt{6}

\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}} = \sqrt{6}+\sqrt{5}

\frac{1}{\sqrt{5}-2} = \sqrt{5}+2 , sehingga kita dapatkan :
\frac{1}{3-\sqrt{8}}-\frac{1}{\sqrt{8}-\sqrt{7}}+\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}-\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}-2}

= 3+\sqrt{8}-(\sqrt{8}+\sqrt{7})+\sqrt{7}+\sqrt{6}-(\sqrt{6}+\sqrt{5})+\sqrt{5}+2

= 3+\sqrt{8}-\sqrt{8}-\sqrt{7}+\sqrt{7}+\sqrt{6}-\sqrt{6}-\sqrt{5}+\sqrt{5}+2
= 5
Jadi \frac{1}{3-\sqrt{8}}-\frac{1}{\sqrt{8}-\sqrt{7}}+\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}-\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}-2}= 5
ok.