Menggunakan aturan sinus atau kosinus untuk menghitung unsur pada segi banyak.

Indikator 20.

Menggunakan aturan sinus atau kosinus untuk menghitung unsur pada segi banyak.

Untuk menghitung unsur-unsur pada segi n beraturan yang meliputi Luas dan keliling dapat menggunakan aturan sinus atau kosinus yang sudah dikenal, namun kali ini aku coba alternatif memakai rumus jadi :

1. Luas segi-n beraturan =\frac{1}{2}.n.R^{2}\sin\left(\frac{360}{n}\right)^{0},  jika diketahui jari-jari lingkaran luarnya.

2. Luas segi-n beaturan = \frac{1}{4}.n.\frac{s^2}{1-cos(\frac{360}{n})}\sin\left(\frac{360}{n}\right)^{0}, jika diketahui panjang sisi-sisinya.

Contoh.

1. UAN 2010

Luas segi 12 beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran lingkaran luar 8 cm adalah ….

a. 192 cm²   b. 172 cm²  c. 162 cm²  d. 148 cm²  e. 144 cm²

Pembahasan :

n = 12 dan R = 8

Luas segi-12 beraturan = \frac{1}{2}.12.8^{2}\sin\left(\frac{360}{12}\right)^{0}

= 6.64\sin\left(30\right)^{0}

= 6.64.\frac{1}{2}=192

Jadi luas segi 12 beraturan dengan jari-jari lingkaran luar 8 cm adalah 192 cm².

2.   Luas segi delapan beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran luar 6 cm adalah …. cm2

a. 72          b. 72√2       c. 80            d. 80√2     e. 90

Pembahasan:

n = 8 R = 6

Luas segi-8 beraturan = \frac{1}{2}.8.6^{2}\sin\left(\frac{360}{8}\right)^{0}

= 4.36.\sin\left(45\right)^{0}

= 144.\frac{1}{2}\sqrt{2}=72\sqrt{2}

Jadi luas segi 8 beraturan dengan jari-jari lingkaran luar 6 cm adalah 72 \sqrt{2} cm².

3. Luas segienam beraturan yang panjang sisinya 12 cm adalah…. cm2

a. 216√3          b.116√3           c.162√3         d. 206√3       e. 126√3

Pembahasan.

Karena yang diketahui panjang sisinya, maka luas segi enam beraturan = \frac{1}{4}.n.\frac{s^2}{1-cos(\frac{360}{n})}\sin\left(\frac{360}{n}\right)^{0}

Luas segienam beraturan =\frac{1}{4}.6.\frac{12^2}{1-cos(\frac{360}{6})}\sin\left(\frac{360}{6}\right)^{0}

=\frac{1}{4}.6.\frac{144}{1-cos(60)^{0}}\sin\left(60\right)^{0}

= \frac{1}{4}.6.\frac{144}{1-\frac{1}{2}}.\frac{1}{2}\sqrt{3}

=\frac{6}{4}.\frac{144}{\frac{1}{2}}\frac{1}{2}\sqrt{3}= 216 \sqrt{3}

Jadi luas segienam beraturan yang panjang sisinya 12 cm adalah 216\sqrt{3}cm².

Menghitung nilai perbandingan trigonometri dengan menggunakan rumus jumlah dan selisih dua sudut serta jumlah dan selisih sinus, kosinus dan tangen

Indikator no. 23

Menghitung nilai perbandingan trigonometri dengan menggunakan rumus jumlah dan selisih dua sudut serta jumlah dan selisih sinus, kosinus dan tangen

Materi yang Perlu diingat :

A. Jumlah dan Selisih Dua Sudut
1) sin (A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B
2) cos (A ± B) = cos A cos B ± sin A sin B

3) \tan(A\pm B)=\frac{\tan A\pm \tan B}{1\mp\tan A.\tan B}

B. Perkalian Sinus dan Kosinus
1) 2sin A cos B = sin(A + B) + sin(A – B)
sin A cos B = ½{sin(A + B) + sin(A – B)}
2) 2cos A sin B = sin(A + B) – sin(A – B)
cos A sin B = ½{sin(A + B) – sin(A – B)}
3) 2cos A cos B = cos(A + B) + cos(A – B)
cos A cos B = ½{cos(A + B) + cos(A – B)}
4) –2sin A sin B = cos(A + B) – cos(A – B)
sin A sin B = –½{cos(A + B) – cos(A – B)}

C. Penjumlahan dan Pengurangan Sinus, Kosinus dan Tangen
1) sin A + sin B = 2sin ½ (A + B) · cos ½(A – B)
2) sin A – sin B = 2cos½ (A + B) · sin ½(A – B)
3) cos A + cos B = 2cos½ (A + B) · cos ½(A – B)
4) cos A – cos B = –2sin½ (A + B) · sin½(A – B)

5). \tan A + \tan B=\frac{\sin (A+ B)}{\cos A.\cos B}

6). \tan A - \tan B=\frac{\sin (A - B)}{\cos A.\cos B}

Soal-soal.

1. UN 2010

Diketahui p dan q adalah sudut lancip dan p – q = 30°. Jika cos p sin q = 1/6 , maka nilai
dari sin p cos q = …

a. 1/6.        b. 2/6      c. 3/6        d. 4/6     e. 5/6

Penyelesaian:

p – q = 30°

sin (p – q)= sin 30°

sin p cos q – cos p sin q = ½

sin p cos q – 1/6 = ½

sin p cos q = ½ + 1/6 = 4/6

jadi nilai sin p cos q = 4/6

2. UN 2009

Pada segitiga ABC lancip, diketahui cos A = 4/5 dan sin B =12/ 13 , maka sin C = ….

a. 20/65     b. 36/65   c. 56/65   d. 60/65   e. 63/65

Penyelesaian :

Kaena segitiga ABC lancip , maka sudut A,B dan C juga lancip, sehingga :

cos A = 4/5, maka sin A = 3/5,  (ingat cosami, sindemi dan tandesa)

sin B = 12/13, maka cos  B = 5/13

A + B + C = 180°,  (jml sudut -sudut dalam satu segitiga = 180)

A + B = 180 – C

sin (A + B) = sin (180 – C)

sin A . cos B + cos A.sin B = sin C, ( ingat sudut yang saling berelasi : sin(180-x) = sin x)

sin C = sin A.cos B + cos A.sin B

sin C = 3/5.5/13 + 4/5.12/13

sin C = 15/65 + 48/65 = 63/65

3. UN 2010

Hasil dari \frac{\cos (45-\alpha)^{o}+\cos (45+\alpha)^{o}}{\sin (45+\alpha)^{o}+\sin (45-\alpha)^{o}} adalah ….

a. -√2     b. -1    c. ½√2    d. 1   e. √2

Penyelesaian:

\frac{\cos (45-\alpha)^{o}+\cos (45+\alpha)^{o}}{\sin (45+\alpha)^{o}+\sin (45-\alpha)^{o}}

= \frac{2\cos \frac{1}{2}((45-\alpha)+(45+\alpha))\cos \frac{1}{2}((45-\alpha)-(45+\alpha))}{2\sin \frac{1}{2}((45+\alpha)+(45-\alpha))\cos\frac{1}{2}((45+\alpha)-(45-\alpha))}

\frac{2\cos \frac{1}{2}(90)\cos \frac{1}{2}(-2 \alpha)}{2\sin \frac{1}{2}(90)\cos\frac{1}{2}(2\alpha)}

=\frac{2\cos 45 \cos (-\alpha)}{2\sin 45 \cos(\alpha)}

= \tan 45^{0}= 1

Jadi nilai dari \frac{\cos (45-\alpha)^{o}+\cos (45+\alpha)^{o}}{\sin (45+\alpha)^{o}+\sin (45-\alpha)^{o}}= 1

4. UN 2010

Hasil dari \frac{\sin 27^{0}+\sin 63^{0}}{\cos 138^{0}+\cos 102^{0}}=....

a. -√2    b.   -½√2    c. 1     d. ½√2   e,  √2

Penyelesaian .

\frac{\sin 27^{0}+\sin 63^{0}}{\cos 138^{0}+\cos 102^{0}}

=\frac{2\sin \frac{1}{2}(27+63)^{0}\cos \frac{1}{2}(27-63)^{0}}{2\cos \frac{1}{2}(138+102)^{0}\cos \frac{1}{2}(138-102)^{0}}

= =\frac{2\sin \frac{1}{2}(90)^{0}\cos \frac{1}{2}(-36)^{0}}{2\cos \frac{1}{2}(240)^{0}\cos \frac{1}{2}(36)^{0}}

=\frac{2\sin (45)^{0}\cos (-18)^{0}}{2\cos (120)^{0}\cos (18)^{0}}, (ingat ,  cos x = cos (-x))

=\frac{2.\frac{1}{2}\sqrt{2} }{2.-\frac{1}{2}}=-\sqrt{2}.

Jadi nilai dari \frac{\sin 27^{0}+\sin 63^{0}}{\cos 138^{0}+\cos 102^{0}}= -\sqrt{2}.

5. UN 2010.

Diketahui tan α – tan β = 1/3 dan  cos α cos β = 48/65 , (α , β lancip). Nilai sin (α – β) = …

a. 63/65   b. 33/65   c. 26/65   d. 16/48   e. 16/65

Penyelesaian

ingat \tan A - \tan B=\frac{\sin (A - B)}{\cos A.\cos B}

\frac{1}{3}=\frac{\sin (\alpha -\beta)}{\frac{48}{65}}

\sin (\alpha-\beta)=\frac{1}{3}.\frac{48}{65}= \frac{16}{65}

jadi nilai dari Nilai sin (α – β) =16/65.

Persamaan Tigonometri (2)

Bagi siswa SMA/MA  kelas XII yang sebentar lagi Ujian Nasional , Salah satu indikator yang diujikan dalam UN Mat IPA 2011 adalah menentukan penyelesaian persamaan trigonometri. Berikut ini soal-soal persamaan trigonometri yang saya ambil dari soal ujian nasional.

1. UN 2010

Himpunan penyelesaian persamaan:
sin 2x + 2cos x = 0, untuk 0\leq x\leq 2\pi adalah….

a. {0,π }
b. \left\{\frac{\pi}{2},\pi\right\}
c. \left\{\frac{3\pi}{2},\pi\right\}
d. \left\{\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right\}
e. \left\{0,\frac{3\pi}{2}\right\}

Penyelesaian …

\sin 2x + 2\cos x =0, ingat ( sin 2x = 2 sin x cos x)

2\sin x \cos x + 2 \cos x=0

2 \cos x(\sin x + 1)= 0

\cos x = 0 atau \sin x = -1

untuk \cos x = 0 didapat x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}

dan untuk \sin x = -1, didapat x = \frac{3\pi}{2}.

Jadi Himpunan penyelesaian dari soal no. 1 adalah HP = \left\{\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right\}

2. UN 2010

Himpunan penyelesaian persamaan:
cos 2x – sin x = 0, untuk  0\leq x\leq 2\pi adalah …

a. \left\{\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{6}\right\}

b. \left\{\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6},\frac{3\pi}{2}\right\}

c. \left\{\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{6},\frac{7\pi}{6}\right\}

d. \left\{\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3},\frac{11\pi}{6}\right\}

e. \left\{\frac{4\pi}{3},\frac{11\pi}{6},2\pi\right\}

Penyelesaian :

cos 2x – sin x = 0, ( ingat cos 2x = 1- 2 sin²x)

1- 2 sin²x – sin x = 0

2 sin²x + sin x – 1 = 0

(2 sin x – 1)(sin x +1)=0

2 sin x = 1 atau sin x = -1

sin x = ½, maka x =\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}

sin x = -1 , maka x = \frac{3\pi}{2}.

Jadi HP =\left\{\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6},\frac{3\pi}{2}\right\}

3. UN 2009

Himpunan penyelesaian persamaan:  sin 4x – cos 2x = 0, untuk 0° < x < 360°
adalah …

a. {15°, 45°, 75°, 135°}
b. {135°, 195°, 225°, 255°}
c. {15°, 45°, 195°, 225°}
d. {15°, 75°, 195°, 255°}
e. {15°, 45°, 75°, 135°, 195°,225°, 255°,315°}

Penyelesaian:

sin 4x – cos 2x = 0, ( ingat sin 4x = 2 sin 2x cos 2x)

2 sin 2x cos 2x – cos 2x = 0

cos 2x ( 2 sin 2x – 1 ) = 0

cos 2x = 0 atau 2 sin 2x = 1

untuk cos 2x = 0, maka 2x = 90° + k.360° , → x = 45° + k.180°, x = 45°, 225° atau 2x = 270° + k.360°,→ x = 135° + k.180°, x = 135°,315°

untuk 2 sin 2x = 1, sin 2x =½, maka 2x = 30° + k.360°, → x = 15°+k.180°, x = 15°, 195° atau 2x =150°+k.360°, maka x = 75°+k.180°, x = 75°, 255°.

Jadi HP ={15°,45°,75°,135°,195°,225°,255°,315°}

4. UN 2008

Himpunan penyelesaian persamaan:
cos 2x° + 7 sin x° + 3 = 0, untuk 0 < x < 360
adalah …
a. {0, 90}
b. {90, 270}
c. {30, 130}
d. {210, 330}
e. {180, 360}

Penyelesaian :

cos 2x° + 7 sin x° + 3 = 0, (ingat cos 2x = 1 – 2 sin²x)

1 – 2 sin²x + 7 sin x + 3 = 0

2 sin²x – 7 sin x – 4 = 0

(2 sin x + 1)(sin x – 4) = 0

2 sin x = -1 atau sin x = 4 ( tdk ada)

sin x = -½, maka x = 210, 330.

Jadi HP = {210, 330}.

5. UN  2005

Himpunan penyelesaian dari persamaan : cos 2xº + 3 sin xº = 2, untuk 0 ≤ x ≤ 360 adalah …
a. {30, 90}
b. {30, 150}
c. {0, 30, 90}
d. {30, 90, 150}
e. {30, 90, 150, 180}

Penyelesaian :

cos 2xº + 3 sin xº = 2

1- 2 sin ²x° + 3 sin x° – 2 = 0

2 sin²x° – 3 sin x° + 1 = 0

(2 sin x° -1 )(sin x° – 1)=0

sin x°=½ atau sin x° = 1

untuk sin x°=½, maka x = 30, 150

untuk sin x° = 1, maka x = 90

Jadi HP = {30, 90, 150}

Rumus trigonometri untuk sudut setengah.

Terima kasih buat sdr ECA dan pembaca yang lain,  yang sudah memberi komentar pada tulisan di blog ini, dibawah ini kami mencoba membantu memberi sedikit penjelasan rumus trigonometri sudut setengah.

Berdasarkan rumus \cos 2x = 2 \cos^{2}x - 1, kita misalkan 2x = \alpha \implies x = \frac{1}{2}\alpha , sehingga \cos \alpha = 2\cos^{2}\frac{1}{2}\alpha-1.

2\cos^{2}\frac{1}{2}\alpha-1= \cos \alpha

2\cos^{2}\frac{1}{2}\alpha = 1+\cos \alpha

\cos^{2}\frac{1}{2}\alpha = \frac{1+ \cos \alpha}{2}, kedua ruas ditarik akar, diperoleh

\cos \frac{1}{2}\alpha = \pm \sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}}. …….. (1)

Dari rumus \cos 2x = 1- 2 \sin^{2}x , dan dengan sedikit manipulasi aljabar seperti di atas akan dapat diperoleh \sin \frac{1}{2}\alpha = \pm \sqrt{\frac{1- \cos \alpha}{2}} ….. (2)

Dari pers .(1 ) dan (2) akan diperoleh :

\tan \frac{1}{2}\alpha = \frac{\sin \frac{1}{2}\alpha}{cos \frac{1}{2}\alpha}

\tan \frac{1}{2}\alpha = \frac{\sqrt{\frac{1- \cos \alpha}{2}}}{\sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}}}

\tan \frac{1}{2}\alpha =\sqrt{\frac{1- \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}}, shingga

\tan ^{2}\frac{1}{2}\alpha = \frac{1- \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}…… (3)

Dari persamaan (3) ruas kanan dikalikan dengan \frac{1- \cos \alpha}{1 - \cos \alpha}.

\tan ^{2}\frac{1}{2}\alpha = \frac{1- \cos \alpha}{1 + \cos  \alpha}.\frac{1- \cos \alpha}{1 - \cos \alpha}

\tan ^{2}\frac{1}{2}\alpha =\frac{(1- \cos \alpha)^{2}}{1 - \cos  ^{2}\alpha}

\tan ^{2}\frac{1}{2}\alpha =\frac{(1- \cos \alpha)^{2}}{\sin   ^{2}\alpha}, kedua ruas ditarik akar diperoleh:

\tan \frac{1}{2}\alpha =\frac{1- \cos \alpha}{\sin \alpha}, \sin \alpha \neq 0 …. (4)

Dari persamaan (3) ruas kanan dikalikan dengan \frac{1+ \cos  \alpha}{1 + \cos \alpha}.

\tan ^{2}\frac{1}{2}\alpha = \frac{1- \cos \alpha}{1 + \cos   \alpha}.\frac{1+\cos \alpha}{1 +\cos \alpha}

\tan ^{2}\frac{1}{2}\alpha = \frac{1- \cos ^{2}\alpha}{(1 + \cos    \alpha)^{2}}

\tan ^{2}\frac{1}{2}\alpha = \frac{\sin^{2}\alpha}{(1 +  \cos    \alpha)^{2}}, kedua ruas ditarik akar diperoleh:

\tan \frac{1}{2}\alpha =\frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} ,\cos \alpha \neq -1 ….. (5).

Kesimpulan :

Dari pembahasan diatas diperoleh lima rumus untuk sudut setengah :

1. \cos \frac{1}{2}\alpha = \pm \sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}}

2. \sin \frac{1}{2}\alpha = \pm \sqrt{\frac{1- \cos \alpha}{2}}

3. \tan ^{2}\frac{1}{2}\alpha = \frac{1- \cos \alpha}{1 + \cos  \alpha}

4. \tan \frac{1}{2}\alpha =\frac{1- \cos \alpha}{\sin \alpha}, \sin  \alpha \neq 0

5. \tan \frac{1}{2}\alpha =\frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} ,\cos \alpha \neq -1

Terima kasih.

Persamaan trigonometri

Persamaan trigonometri adalah suatu persamaan yang mengandung satu atau lebih fungsi trigonometri. Contoh

\tan^{2}x+1=\sec^{2}x

Teknik dasar untuk menyelesaikan persamaan trigonometri adalah menggunakan identitas trigonometri dan teknik aljabar untuk mengubah suatu persamaan trigonometri menjadi bentuk yang lebih sederhana.

contoh.

2\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=1

\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2} (  membagi kedua ruas dengan 2)

\cos\left(x\right)=\frac{1}{2}  (ingat identitas :\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos\left(x\right)

karena \cos\left(\pm\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}, maka solusinya adalah x=\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi. dimana k adalah bilangan bulat.

Contoh 2.

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan \tan x = \sin x , pada interval \left[0,2\pi\right].

Jawab.

\tan x = \sin x

\frac{\sin x}{\cos x}= \sin x . (\tan x =\frac{\sin x}{\cos x}).

\frac{\sin x}{\cos x} - \sin x = 0

\sin x \left(\frac{1}{\cos x}-1\right)= 0

\sin x \left(\sec x -1\right)= 0,  (ingat \frac{1}{\cos x} =\sec x)

\sin x = 0 atau \sec x = 1

untuk \sin x = 0 , penyelesaiannya  x = 0,\pi, 2\pi.

untuk \sec = 1 , penyelesaiannya x = 0

Jadi Himpunan penyelesaiannya adalah =\left\{0,\pi,2\pi\right\}

contoh 3.
Tentukan penyelesaian dari \sin(4x)-2\cos(2x)=0, untuk 0\leq x\leq2\pi

Jawab.

\sin(4x)-2\cos(2x)=0

2\sin (2x)\cos(2x)-2\cos(2x)=0

2\cos(2x)\left(\sin (2x)-1\right)=0

\cos(2x)=0 atau \sin(2x)=1

\cos(2x)=0 \Rightarrow x=\left\{\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4},\frac{7\pi}{4}\right\}

\sin(2x)=1 \Rightarrow x=\left\{\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\right\}

Jadi penyelesaian dari persamaan di atas adalah x=\left\{\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4},\frac{7\pi}{4}\right\}

Pembahasan soal UAN SMA Matematika IPA (Trigonometri)

1. EBT.thn 94. (19)
Diketahui \tan A = p, maka \cos 2A = ...
a. 1- p^{2}

b. \frac {1-p^{2}}{p^{2}+1}

c. \frac{2p}{p^{2}+1}

d. \frac{2}{p^{2}+1}

e. \frac{2\sqrt{p^{2}+1}}{p^{2}+1}

Jawab.

dari rumus trigonometri sudut rangkap \cos(2a)=\frac{1-\tan^{2}(a)}{1+\tan^{2}(a)}
sehingga \cos (2A)=\frac{1-\tan^{2}a}{1+\tan^{2}(a)} dan karena \tan A = p, maka
\cos(2A)=\frac{1-p^{2}}{1+p^{2}}
Jawaban b.

2. EBT.88 (05)
Ditentukan \tan(\frac{1}{2}A)= t, maka \sin (A)=....
a. \frac{t}{1+t^{2}}

b. \frac{2t}{1+t^{2}}

c. \frac{3t}{1+t^{2}}

d. \frac{4t}{1+t^{2}}

e. \frac{5t}{1+t^{2}}

Jawab.

dari rumus trigonometri sudut rangkap \sin(2a)=\frac{2\tan(a)}{1+\tan^{2}(a)}, sehingga \sin(a)=\frac{2\tan(\frac{1}{2}a)}{1+\tan^{2}(\frac{1}{2}a)} dan karena \tan(\frac{1}{2}A)= t, maka \sin(a)=\frac{2t}{1+t^{2}}. Jadi jawabannya b.

3. EBT 98 (15)
Diketahui \cos (A-B)=\frac {3}{5} dan \cos A.\cos B=\frac{7}{25}. Nilai \tan A . \tan B = ....
a.\frac{8}{25}

b.\frac{8}{7}

c. \frac{7}{8}

d. \frac{-8}{25}

e. \frac{-8}{7}

Jawab.

Dari rumus penjumlahan dan pengurangan kita ketahui bahwa
\cos(A-B)=\cos A.\cos B+\sin A.\sin B, sehingga dari yang diketahui kita subtitusikan pada rumus di atas
\cos(A-B)=\cos A.\cos B+\sin A.\sin B
\frac {3}{5}=\frac{7}{25}+\sin A.\sin B
\sin A.\sin B = \frac {8}{25}.
\tan A.\tan B = \frac {\sin A.\sin B}{\cos A.\cos B}

\tan A.\tan B = \frac{\frac{8}{25}}{\frac{7}{25}}

\tan A.\tan B = \frac {8}{7}. Jawab b.