Kombinatorik


Aturan Dasar Menghitung :

1. Aturan Dasar Menambah

Jika kita mempunyai dua himpunan yang tidak mempunyai unsur bersama (saling lepas), maka jumlah anggota dari dua himpunan ini adalah jumlah dari banyak anggota dari masing-masing himpunan.

contoh.
Ada dua cara untuk pergi dari Jakarta ke Pontianak, yaitu menggunakan kapal terbang atau kapal laut. Untuk Kapal terbang ada 4 penerbangan, dan kapal laut ada 3 kapal. Berapa banyak cara untuk pergi dari Jakarta ke Pontianak.

Jawab.
Karena cara bepergian dari Jakarta ke Pontianak dengan udara dan laut merupakan dua hal yang terpisah, maka banyaknya cara tinggal dijumlahkan, yaitu 4 + 3 = 7 cara.

2. Aturan Dasar Mengalikan

Misalkan ada suatu prosedur (urutan pengerjaan) yang dapat dilakukan dalam dua langkah yang saling lepas (tidak bergantung). Jika langkah pertama ada r_{1} dan langkah kedua ada r_{2} cara, maka prosedur tersebut dapat dilakukan dengan r_{1}.r_{2} cara.

Contoh.
Misalkan kita pergi dari kota A ke C dan harus melalui kota B. Dari kota A ke kota B ada 3 jalan, dan dari kota B ke kota C ada 2 jalan. Ada berapa cara bepergian dari kota A ke kota C yang melalui kota B.

Jawab.
Setelah kita memilih jalan dari A ke B, pilihan jalan dari B ke C tidak tergantung pada pilihan pertama. Dengan demikian menurut aturan perkalian, banyaknya cara dari kota A ke C melalui B adalah 3.2 = 6 cara.

Contoh.
Diketahui angka 1,2,4,5,6,8,9. Tentukan banyaknya semua bilangan yang dibuat dari angka yang diketahui dan
1. terdiri dari 2 angka
2. terdiri dari 2 tetapi tidak mempunyai angka yang sama.

Jawab
Karena bilangan yang diminta terdiri dari 2 angka , kita sediakan 2 kotak yang akan kita isi dengan jumlah semua kemungkinan dari tiap-tahap.
1. Kemungkinan angka puluhan adalah salahsatu dari angka yang diketahui yaitu sebanyak 7. Demikian pula kemungkinan angka satuan juga ada 7. Kemudian kita isikan ke masing-masing kotak dan banyaknya kemungkinan adalah 7.7 = 49.

2. Kemungkinan angka puluhan adalah salah satu dari angka yang diketahui yaitu sebanyak 7. Karena tidak boleh mempunyai angka yang sama, maka setelah satu angka dipakai untuk puluhan, kemungkinan angka satuan hanya ada 6. Dengan demikian jumlah kemungkinan adalah 7.6 = 42

Contoh
Diketahui bilangan 2592. Tentukan banyaknya pembagi dari bilangan ini termasuk 1 dan 2592.

Jawab
Seperti pada masalah bilangan yang lain, pertama kita ubah bilangan tersebut dalam uraian faktor prima, yaitu 2592 = 2^{5}.3^{4}. Kemudian pembagi 2592 mempunyai bentuk 2^{a}.3^{b} dengan a = 0,1,2,3,4,5. dan b = 0,1,2,3,4. Jadi , masalah menentukan banyaknya pembagi sama saja dengan menentukan banyaknya pasangan (a,b) dengan a dan b bilangan di atas. Dalam hal ini adalah 6 x 5 = 30.

Contoh
Misalkan ada 3 orang utusan dari kelas X, 4 orang utusan kelas XI, dan 2 orang utusan kelas XII. Dari utusan ini akan dipilih dua orang utusan untuk keluar sekolah. Utusan ini tidak boleh dari kelas yang sama. Tentukan banyaknya kemungkinan utusan ini (tidak memperhatikan urutan).

Jawab.
Kombinasi utusan ini adalah dari
1. kelas X dan kelas XI
2. kelas X dan kelas XII
3. kelas XI dan kelas XII
sekarang kita akan menghitung lebih lengkap
1. Misalkan satu utusan diambil dari kelas X dan yang lain dari kelas XI, maka berdasarkan prinsip perkalian ada 3.4 = 12 kemungkinan.
2. Jika satu utusan diambil dari kelas X dan satu utusan diambil dari kelas XII, maka ada 3.2 = 6 kemungkinan.
3. Jika satu utusan diambil dari kelas XI dan satu utusan diambil dari kelas XII, maka ada 4.2 = 8 kemungkinan.
Karena ketiga kemungkinan merupakan himpunan yang saling lepas, maka jumlah semua kemungkinan adalah jumlah ketiga himpunan yaitu : 12 + 6 + 8 = 26 kemungkinan.

Permutasi
Permutasi n unsur yang berbeda adalah susunan n unsur dengan memperhatikan urutan.
Permutasi n unsur dari unsur yang tersedia, nPn=(n).(n-1).(n-2)…(3)(2).(1)=n!
lambang n! dibaca n faktorial.

Definisi : jika n bilangan asli, maka n! adalah :
n! = 1.2.3….(n-1)(n)
0! = 1
contoh :
3P3 = 3! = 1.2.3 = 6
6P6 = 6! = 1.2.3.4.5.6 = 720
sifat :
Permutasi r unsur dari n unsur berbeda dengan r\leq n,
_{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}

Contoh
Tentukan banyaknya permutasi dari dua angka yang diambil dari 1,2,3,4,5.

Jawab.
Dalam contoh ini yang ditanyakan adalah permutasi dua angka dari lima angka. Jumlah total permutasi tersebut adalah
_{5}P_{2}= \frac{5!}{(5-2)!}= \frac{5!}{3!}=\frac{1.2.3.4.5}{1.2.3}=4.5 = 20.

Contoh
Empat orang masuk ke dalam bus dan tersedia 10 tempat duduk yang masih kosong. Tentukan banyak semua kemungkinan posisi empat orang tersebut duduk.

Jawab
Masalah ini merupakan permutasi empat tempat duduk terisi dari 10 tempat duduk kosong, yaitu sebanyak
_{10}P_{4}=\frac{10!}{(10-4)!}=\frac{10!}{6!}=\frac{1.2.3...9.10}{1.2.3...6}= 7.8.9.10 =5040.

Contoh
Tentukan banyaknya bilangan yang terdiri dari paling banyak 3 angka dengan bilangan yang terbentuk tidak mempunyai angka kembar dan diambilm dari angka di susunan1,2,3,4,5,6,7,8.

Jawab
Karena bilangan yang diminta paling banyak terdiri 3 angka, maka bisa kita pilah menjadi 3 bagian
1). bilangan yang terbentuk terdiri dari 1 angka, sehingga banyaknya permutasi dari 1 unsur dari 8 unsur yang diketahui
_{8}P_{1}=\frac{8!}{(8-1)!}= 8
2). bilangan yang terbentuk terdiri 2 angka, sehingga banyaknya permutasi 2 unsur dari 8 unsur yang diketahui
_{8}P_{2}=\frac{8!}{(8-2)!}=7.8 = 56
3). bilangan yang terbentuk terdiri dari 3 angka, sehingga banyaknya permutasi 3 unsur dari 8 unsur yang diketahui
_{8}P_{3}=\frac{8!}{(8-3)!}=6.7.8 = 336

dari 1), 2) dan 3) membentuk himpunan yang saling lepas, maka banyaknya bilangan yang terdiri dari paling banyak 3 angka adalah 8 + 56 + 336 = 400.

One thought on “Kombinatorik

Berikan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s