Rumus trigonometri untuk sudut setengah.


Terima kasih buat sdr ECA dan pembaca yang lain,  yang sudah memberi komentar pada tulisan di blog ini, dibawah ini kami mencoba membantu memberi sedikit penjelasan rumus trigonometri sudut setengah.

Berdasarkan rumus \cos 2x = 2 \cos^{2}x - 1, kita misalkan 2x = \alpha \implies x = \frac{1}{2}\alpha , sehingga \cos \alpha = 2\cos^{2}\frac{1}{2}\alpha-1.

2\cos^{2}\frac{1}{2}\alpha-1= \cos \alpha

2\cos^{2}\frac{1}{2}\alpha = 1+\cos \alpha

\cos^{2}\frac{1}{2}\alpha = \frac{1+ \cos \alpha}{2}, kedua ruas ditarik akar, diperoleh

\cos \frac{1}{2}\alpha = \pm \sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}}. …….. (1)

Dari rumus \cos 2x = 1- 2 \sin^{2}x , dan dengan sedikit manipulasi aljabar seperti di atas akan dapat diperoleh \sin \frac{1}{2}\alpha = \pm \sqrt{\frac{1- \cos \alpha}{2}} ….. (2)

Dari pers .(1 ) dan (2) akan diperoleh :

\tan \frac{1}{2}\alpha = \frac{\sin \frac{1}{2}\alpha}{cos \frac{1}{2}\alpha}

\tan \frac{1}{2}\alpha = \frac{\sqrt{\frac{1- \cos \alpha}{2}}}{\sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}}}

\tan \frac{1}{2}\alpha =\sqrt{\frac{1- \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}}, shingga

\tan ^{2}\frac{1}{2}\alpha = \frac{1- \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}…… (3)

Dari persamaan (3) ruas kanan dikalikan dengan \frac{1- \cos \alpha}{1 - \cos \alpha}.

\tan ^{2}\frac{1}{2}\alpha = \frac{1- \cos \alpha}{1 + \cos  \alpha}.\frac{1- \cos \alpha}{1 - \cos \alpha}

\tan ^{2}\frac{1}{2}\alpha =\frac{(1- \cos \alpha)^{2}}{1 - \cos  ^{2}\alpha}

\tan ^{2}\frac{1}{2}\alpha =\frac{(1- \cos \alpha)^{2}}{\sin   ^{2}\alpha}, kedua ruas ditarik akar diperoleh:

\tan \frac{1}{2}\alpha =\frac{1- \cos \alpha}{\sin \alpha}, \sin \alpha \neq 0 …. (4)

Dari persamaan (3) ruas kanan dikalikan dengan \frac{1+ \cos  \alpha}{1 + \cos \alpha}.

\tan ^{2}\frac{1}{2}\alpha = \frac{1- \cos \alpha}{1 + \cos   \alpha}.\frac{1+\cos \alpha}{1 +\cos \alpha}

\tan ^{2}\frac{1}{2}\alpha = \frac{1- \cos ^{2}\alpha}{(1 + \cos    \alpha)^{2}}

\tan ^{2}\frac{1}{2}\alpha = \frac{\sin^{2}\alpha}{(1 +  \cos    \alpha)^{2}}, kedua ruas ditarik akar diperoleh:

\tan \frac{1}{2}\alpha =\frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} ,\cos \alpha \neq -1 ….. (5).

Kesimpulan :

Dari pembahasan diatas diperoleh lima rumus untuk sudut setengah :

1. \cos \frac{1}{2}\alpha = \pm \sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}}

2. \sin \frac{1}{2}\alpha = \pm \sqrt{\frac{1- \cos \alpha}{2}}

3. \tan ^{2}\frac{1}{2}\alpha = \frac{1- \cos \alpha}{1 + \cos  \alpha}

4. \tan \frac{1}{2}\alpha =\frac{1- \cos \alpha}{\sin \alpha}, \sin  \alpha \neq 0

5. \tan \frac{1}{2}\alpha =\frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} ,\cos \alpha \neq -1

Terima kasih.

2 thoughts on “Rumus trigonometri untuk sudut setengah.

  1. Ping-balik: Fungsi Trigonometri Sudut Pertengahan | Trigonometry Sphere

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s