Persamaan Tigonometri (2)


Bagi siswa SMA/MA  kelas XII yang sebentar lagi Ujian Nasional , Salah satu indikator yang diujikan dalam UN Mat IPA 2011 adalah menentukan penyelesaian persamaan trigonometri. Berikut ini soal-soal persamaan trigonometri yang saya ambil dari soal ujian nasional.

1. UN 2010

Himpunan penyelesaian persamaan:
sin 2x + 2cos x = 0, untuk 0\leq x\leq 2\pi adalah….

a. {0,π }
b. \left\{\frac{\pi}{2},\pi\right\}
c. \left\{\frac{3\pi}{2},\pi\right\}
d. \left\{\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right\}
e. \left\{0,\frac{3\pi}{2}\right\}

Penyelesaian …

\sin 2x + 2\cos x =0, ingat ( sin 2x = 2 sin x cos x)

2\sin x \cos x + 2 \cos x=0

2 \cos x(\sin x + 1)= 0

\cos x = 0 atau \sin x = -1

untuk \cos x = 0 didapat x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}

dan untuk \sin x = -1, didapat x = \frac{3\pi}{2}.

Jadi Himpunan penyelesaian dari soal no. 1 adalah HP = \left\{\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right\}

2. UN 2010

Himpunan penyelesaian persamaan:
cos 2x – sin x = 0, untuk  0\leq x\leq 2\pi adalah …

a. \left\{\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{6}\right\}

b. \left\{\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6},\frac{3\pi}{2}\right\}

c. \left\{\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{6},\frac{7\pi}{6}\right\}

d. \left\{\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3},\frac{11\pi}{6}\right\}

e. \left\{\frac{4\pi}{3},\frac{11\pi}{6},2\pi\right\}

Penyelesaian :

cos 2x – sin x = 0, ( ingat cos 2x = 1- 2 sin²x)

1- 2 sin²x – sin x = 0

2 sin²x + sin x – 1 = 0

(2 sin x – 1)(sin x +1)=0

2 sin x = 1 atau sin x = -1

sin x = ½, maka x =\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}

sin x = -1 , maka x = \frac{3\pi}{2}.

Jadi HP =\left\{\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6},\frac{3\pi}{2}\right\}

3. UN 2009

Himpunan penyelesaian persamaan:  sin 4x – cos 2x = 0, untuk 0° < x < 360°
adalah …

a. {15°, 45°, 75°, 135°}
b. {135°, 195°, 225°, 255°}
c. {15°, 45°, 195°, 225°}
d. {15°, 75°, 195°, 255°}
e. {15°, 45°, 75°, 135°, 195°,225°, 255°,315°}

Penyelesaian:

sin 4x – cos 2x = 0, ( ingat sin 4x = 2 sin 2x cos 2x)

2 sin 2x cos 2x – cos 2x = 0

cos 2x ( 2 sin 2x – 1 ) = 0

cos 2x = 0 atau 2 sin 2x = 1

untuk cos 2x = 0, maka 2x = 90° + k.360° , → x = 45° + k.180°, x = 45°, 225° atau 2x = 270° + k.360°,→ x = 135° + k.180°, x = 135°,315°

untuk 2 sin 2x = 1, sin 2x =½, maka 2x = 30° + k.360°, → x = 15°+k.180°, x = 15°, 195° atau 2x =150°+k.360°, maka x = 75°+k.180°, x = 75°, 255°.

Jadi HP ={15°,45°,75°,135°,195°,225°,255°,315°}

4. UN 2008

Himpunan penyelesaian persamaan:
cos 2x° + 7 sin x° + 3 = 0, untuk 0 < x < 360
adalah …
a. {0, 90}
b. {90, 270}
c. {30, 130}
d. {210, 330}
e. {180, 360}

Penyelesaian :

cos 2x° + 7 sin x° + 3 = 0, (ingat cos 2x = 1 – 2 sin²x)

1 – 2 sin²x + 7 sin x + 3 = 0

2 sin²x – 7 sin x – 4 = 0

(2 sin x + 1)(sin x – 4) = 0

2 sin x = -1 atau sin x = 4 ( tdk ada)

sin x = -½, maka x = 210, 330.

Jadi HP = {210, 330}.

5. UN  2005

Himpunan penyelesaian dari persamaan : cos 2xº + 3 sin xº = 2, untuk 0 ≤ x ≤ 360 adalah …
a. {30, 90}
b. {30, 150}
c. {0, 30, 90}
d. {30, 90, 150}
e. {30, 90, 150, 180}

Penyelesaian :

cos 2xº + 3 sin xº = 2

1- 2 sin ²x° + 3 sin x° – 2 = 0

2 sin²x° – 3 sin x° + 1 = 0

(2 sin x° -1 )(sin x° – 1)=0

sin x°=½ atau sin x° = 1

untuk sin x°=½, maka x = 30, 150

untuk sin x° = 1, maka x = 90

Jadi HP = {30, 90, 150}

One thought on “Persamaan Tigonometri (2)

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s