olimpiade

Latihan soal Olimpiade (aljabar)

Setelah UN 2011 selesai di gelar, saatnya latihan soal olimpiade untuk persiapan OSN 2011, soal-soal ini diambil dari diktat yang disusun oleh Bpk. Eddy Hermanto, ST.

Latihan 1 ( Barisan dan deret)

  1. (OSK 2006) Pada sebuah barisan aritmetika, nilai suku ke-25 tiga kali nilai suku ke-5. Suku yang bernilai dua kali nilai suku pertama adalah suku ke ….

Penyelesaian :

U25 = 3.U5

a + 24 b = 3 ( a + 4b)=3a + 12b

-2a = -12b

a = 6b

Un = 2a = a +(n-1) b.

a = (n-1).a/6 ( dikalikan 6/a)

6 = n-1

n = 7

Jadi suku ke-7 nilainya dua kali suku pertama

2. (OSK 2009) Jika x_{k+1}=x_{k}+\frac{1}{2} untuk k = 1,2,3,.. dan x_{1}=1. Maka x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{400}=...

Penyelesaian:

x_{1}=1

x_{2}= x_{1}+\frac{1}{2} = \frac{3}{2}

x_{3}=x_{2} +\frac{1}{2}=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=2

sehingga x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{400}= 1+\frac{3}{2}+2+...+x_{400} adalah deret aritmetika dengan a = 1, b = ½ dan n = 400

S_{400}=\frac{400}{2}\left(2.1+(400-1)\frac{1}{2}\right)

S_{400}= 200\left(2+\frac{399}{2}\right)=200\left(\frac{4+399}{2}\right)=100(403)=40300

jadi x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{400}=40.300

3. Misalkan f adalah fungsi yang memenuhi f(n)=f(n-1)+\frac{n}{2007}, untuk setiap n bilangan asli dan f(0) = 1945. maka tentuka f(2007).

Penyelesaian :

f(n)=f(n-1)+\frac{n}{2007}

untuk n = 1, f(1)=f(0)+\frac{1}{2007}=1945+\frac{1}{2007}

untuk n = 2, f(2)=f(1)+\frac{2}{2007}=1945+\frac{1}{2007}+\frac{2}{2007}

untuk n = 3, f(3)= f(2) + \frac{3}{2007} = 1945 + \frac{1}{2007}+\frac{2}{2007}+\frac{3}{2007}

dan seterusnya…

maka untuk n = 2007, f(2007) = f(2006)+\frac{2007}{2007}=1945+\frac{1}{2007}+\frac{2}{2007}+...+\frac{2007}{2007}
1+2+3+...+2007=\frac{2007}{2}(1+2007)= 2007.1004
f(2007) = 1945 + \frac{1}{2007}(2007.1004)= 1945+1004=2949

jadi f(2007) = 2949.

Iklan
Trigonometri

Menggunakan aturan sinus atau kosinus untuk menghitung unsur pada segi banyak.

Indikator 20.

Menggunakan aturan sinus atau kosinus untuk menghitung unsur pada segi banyak.

Untuk menghitung unsur-unsur pada segi n beraturan yang meliputi Luas dan keliling dapat menggunakan aturan sinus atau kosinus yang sudah dikenal, namun kali ini aku coba alternatif memakai rumus jadi :

1. Luas segi-n beraturan =\frac{1}{2}.n.R^{2}\sin\left(\frac{360}{n}\right)^{0},  jika diketahui jari-jari lingkaran luarnya.

2. Luas segi-n beaturan = \frac{1}{4}.n.\frac{s^2}{1-cos(\frac{360}{n})}\sin\left(\frac{360}{n}\right)^{0}, jika diketahui panjang sisi-sisinya.

Contoh.

1. UAN 2010

Luas segi 12 beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran lingkaran luar 8 cm adalah ….

a. 192 cm²   b. 172 cm²  c. 162 cm²  d. 148 cm²  e. 144 cm²

Pembahasan :

n = 12 dan R = 8

Luas segi-12 beraturan = \frac{1}{2}.12.8^{2}\sin\left(\frac{360}{12}\right)^{0}

= 6.64\sin\left(30\right)^{0}

= 6.64.\frac{1}{2}=192

Jadi luas segi 12 beraturan dengan jari-jari lingkaran luar 8 cm adalah 192 cm².

2.   Luas segi delapan beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran luar 6 cm adalah …. cm2

a. 72          b. 72√2       c. 80            d. 80√2     e. 90

Pembahasan:

n = 8 R = 6

Luas segi-8 beraturan = \frac{1}{2}.8.6^{2}\sin\left(\frac{360}{8}\right)^{0}

= 4.36.\sin\left(45\right)^{0}

= 144.\frac{1}{2}\sqrt{2}=72\sqrt{2}

Jadi luas segi 8 beraturan dengan jari-jari lingkaran luar 6 cm adalah 72 \sqrt{2} cm².

3. Luas segienam beraturan yang panjang sisinya 12 cm adalah…. cm2

a. 216√3          b.116√3           c.162√3         d. 206√3       e. 126√3

Pembahasan.

Karena yang diketahui panjang sisinya, maka luas segi enam beraturan = \frac{1}{4}.n.\frac{s^2}{1-cos(\frac{360}{n})}\sin\left(\frac{360}{n}\right)^{0}

Luas segienam beraturan =\frac{1}{4}.6.\frac{12^2}{1-cos(\frac{360}{6})}\sin\left(\frac{360}{6}\right)^{0}

=\frac{1}{4}.6.\frac{144}{1-cos(60)^{0}}\sin\left(60\right)^{0}

= \frac{1}{4}.6.\frac{144}{1-\frac{1}{2}}.\frac{1}{2}\sqrt{3}

=\frac{6}{4}.\frac{144}{\frac{1}{2}}\frac{1}{2}\sqrt{3}= 216 \sqrt{3}

Jadi luas segienam beraturan yang panjang sisinya 12 cm adalah 216\sqrt{3}cm².