peluang

Permutasi

Susunan n unsur berbeda dengan memperhatikan urutannya disebut permutasi dari n unsur tersebut.

Misalkan kita mempunyai n unsur , dan kita akan menghitung banyaknya permutasi. Unsur pertama mempunyai n kemungkinan. Karena tidak boleh ada pengulangan, maka unsur kedua sebanyak n-1 . Unsur ketiga mempunyai n – 2 kemungkinan, dan seterusnya, sampai unsur terakhir hanya mempunyai satu kemungkinan. Dengan demikian jumlah permutasi tersebut adalah  n . (n-1) .(n-2)….3.2.1 = 1.2.3…n. dan jika dinyatakan dengan notasi faktorial, banyaknya permutasi n unsur ditulis _{n}P_{ n} = n!.

Banyaknya permutasi dari 3 unsur berbeda adalah _{3} P_{ 3} = 3! = 1.2.3 = 6.

Banyaknya permutasi dari 6 unsur berbeda adalah _{6} P_{6} = 6! = 1.2.3.4.5.6 = 720.

Permutasi r unsur  dari n unsur berbeda, _{n} P _{r} = \frac{n!}{(n-r)!}. dengan (r ≤ n )

Contoh1

Tentukan banyaknya permutasi dari dua angka yang diambil dari angka-angka 1,2,3,4,5.

Jawab

Dalam contoh ini yang ditanyakan adalah permutasi dua angka dari lima angka. jumlah total permutasi tersebut adalah _{5} P_{2} = \frac{5!}{(5-2)!}=\frac{5!}{3!}=\frac{1.2.3.4.5}{1.2.3}=4.5=20.

Contoh 2

Empat orang masuk ke dalam bus dan tersedia 10 tempat duduk yang masih kosong. Tentukan banyak semua kemungkinan posisi empat orang tersebut duduk.

Jawab

Masalah ini merupakan permutasi empat tempat duduk terisi dari 10 tempat duduk kosong, yaitu sebanyak

_{10} P _{4} = \frac{10!}{(10-4)!}=\frac{10!}{6!}=\frac{1.2.3...9.10}{1.2..6}=7.8.9.10 =5040

Contoh 3

Tentukan banyaknya bilangan yang terdiri dari paling banyak 3 angka dengan bilangan yang terbentuk tidak mempunyai angka kembardan diambil dari angka di susunan 1,2,3,4,5,6,7,8.

Jawab

Dalam masalah ini kita harus menghitung banyaknya bilangan yang terdiri satu angka, dua angka dan tiga angka.

Bilangan yang terbentuk dari satu angka ada _{8} P _{1} = \frac{8!}{(8-1)!}=\frac{8!}{7!}=\frac{1.2.3...8}{1.2..7}= 8

Bilangan yang terbentuk dari dua angka ada _{8} P _{2} = \frac{8!}{(8-2)!}=\frac{8!}{6!}=\frac{1.2.3...8}{1.2..6}= 7.8 = 56

Bilangan yang terbentuk dari tiga angka ada _{8} P _{3} = \frac{8!}{(8-3)!}=\frac{8!}{5!}=\frac{1.2.3...8}{1.2..5}= 6.7.8 = 336

Karena bilangan yang terbentuk merupakan himpunan yang saling lepas, maka banyaknya bilangan yang terdiri dari paling banyak tiga angka adalah 8 + 56 + 336 = 400

Contoh 4

Penjaga perpustakaan bermaksud untuk menyimpan buku sehingga buku dengan bahasa yang sama akan berjajar berdekatan. Jika ia mempunyai 12 tempat untuk 5 buku berbeda dalam bahasa Inggris, 4 buku berbeda dalam bahasa Perancis dan 3 buku berbeda dalam bahasa Jerman, tentukan banyaknya kemungkinan susunan buku tersebut.

Jawab.

Perhatikan bahwa ini masalah permutasi bersusun. Pertama terdapat 3 unsur yaitu bahasa Inggris, Perancis dan Jerman. Kemudian jika susunan bahasa sudah ditentukan, masing-masing buku dengan bahasa sama akan berpemutasi antar mereka sendiri. Karena permutasi antar bahasa  dan permutasi antar buku saling bebas, maka jumlah permutasi diperoleh dengan mengalikan semuanya. Permutasi tiga bahasa ada 3!, permutasi bahasa Inggris 5!, bahasa perancis 4! dan bahasa Jerman 3!. sehingga jumlahnya adalah 3!.5!.4!.3! = 103.680 susunan.

Contoh 5

Diketahui A = {a,b,c,d,…,x,y,z} yaitu himpunan semua 26 huruf. Carilah susunan yang terdiri 5 huruf berbeda (tak perlu mempunyai makna) sehingga huruf pertama dan terakhir huruf suara hidup (vokal), dan 3 huruf lainnya adalah huruf suara mati atau konsonan.

Jawab

Dalam hal ini ada 2 proses.

1. Proses pertama, adalah menentukan 2 huruf vokal untuk di depan dan belakang.

2. Proses kedua, adalah menentukan 3 huruf konsonan untuk posisi, 2,3 dan 4

untuk proses pertama, adala _{5}P_{2} , dan proses kedua adalah _{21}P_{3}. Karena keduanya saling bebas, maka banyaknya cara _{5}P_{2}\times _{21}P_{3}=(5\times4)\times(21\times20\times19)=159.600

Iklan
peluang

Soal Peluang dan Pembahasannya

soal no. 1
Sebuah kantong berisi 100 kartu yang diberi nomor 2 sampai dengan 101. Sebuah kartu diambil secara acak dari kantong itu. Tentukan peluang terambil kartu yang merupakan bilangan kuadrat ?

Pembahasan.
n(S) = 100
A = kejadian terambil kartu bilangan kuadrat
= {4,9,16,25,36,49,64,81,100}
n(A)= 9

Sehingga p(A) = n(A)/n(S)= 9/100

soal no. 2

17 Kartu diberi nomor 1,2,3,….16,17. dimasukkan dalam sebuah kotak. Sebuah kartu diambil dari kotak secara acak. Tentukan peluang terambil kartu bernomor yang habis dibagi 2 dan 3.

Pembahasan

n(S) = 17

diantara Bilangan 1 sampai dengan 17 yang merupakan bilangan habis dibagi 2 dan 3 adalah 6 dan 12
sehingga n(A) = 2
JAdi p(A) = n(A)/n(S) = 2 / 17

soal no. 3

Sebuah tas berisi 5 bola merah dan beberapa bola biru, sebuah bola diambil secara acak dari tas. Jika peluang terambil sebuah bola biru sama dengan dua kali peluang terambil sebuah bola merah. Berapa banyak bola biru yang terdapat dalam tas.

Pembahasan.

Misal jumlah bola biru yang ada di dalam tas adalah x, maka jumlah bola merah dan biru adalah 5 + x, sehingga n(S) = 5 + x
A = kejadian terambil 1 bola merah, maka n(A) =5

P(A) = \frac{5}{5+x}

B = kejadian terambil 1 bola biru, sehingga n(B) = x

P(B) = \frac{x}{5+x}, karena P(B)= 2 P(A), maka kita peroleh:

\frac{x}{5+x} = 2.\frac{5}{5+x}.

\frac{x}{5+x} = \frac{10}{5+x}.

sehingga kita dapatkan x = 10. Jadi banyaknya bola biru yang ada di dalam tas ada 10 buah.