Trigonometri

Identitas trigonometri

Buktikan identitas trigonometri berikut:
1. (\csc (A)-\cot (A))^{2}=\frac{1-\cos (A)}{1+\cos(A)}.

2. \frac{\tan (A)}{1-\cot (A)}+\frac{\cot (A)}{1-\tan (A)}=1 + \sec (A) \csc (A)

Iklan
Trigonometri

Pembahasan soal UAN SMA Matematika IPA (Trigonometri)

1. EBT.thn 94. (19)
Diketahui \tan A = p, maka \cos 2A = ...
a. 1- p^{2}

b. \frac {1-p^{2}}{p^{2}+1}

c. \frac{2p}{p^{2}+1}

d. \frac{2}{p^{2}+1}

e. \frac{2\sqrt{p^{2}+1}}{p^{2}+1}

Jawab.

dari rumus trigonometri sudut rangkap \cos(2a)=\frac{1-\tan^{2}(a)}{1+\tan^{2}(a)}
sehingga \cos (2A)=\frac{1-\tan^{2}a}{1+\tan^{2}(a)} dan karena \tan A = p, maka
\cos(2A)=\frac{1-p^{2}}{1+p^{2}}
Jawaban b.

2. EBT.88 (05)
Ditentukan \tan(\frac{1}{2}A)= t, maka \sin (A)=....
a. \frac{t}{1+t^{2}}

b. \frac{2t}{1+t^{2}}

c. \frac{3t}{1+t^{2}}

d. \frac{4t}{1+t^{2}}

e. \frac{5t}{1+t^{2}}

Jawab.

dari rumus trigonometri sudut rangkap \sin(2a)=\frac{2\tan(a)}{1+\tan^{2}(a)}, sehingga \sin(a)=\frac{2\tan(\frac{1}{2}a)}{1+\tan^{2}(\frac{1}{2}a)} dan karena \tan(\frac{1}{2}A)= t, maka \sin(a)=\frac{2t}{1+t^{2}}. Jadi jawabannya b.

3. EBT 98 (15)
Diketahui \cos (A-B)=\frac {3}{5} dan \cos A.\cos B=\frac{7}{25}. Nilai \tan A . \tan B = ....
a.\frac{8}{25}

b.\frac{8}{7}

c. \frac{7}{8}

d. \frac{-8}{25}

e. \frac{-8}{7}

Jawab.

Dari rumus penjumlahan dan pengurangan kita ketahui bahwa
\cos(A-B)=\cos A.\cos B+\sin A.\sin B, sehingga dari yang diketahui kita subtitusikan pada rumus di atas
\cos(A-B)=\cos A.\cos B+\sin A.\sin B
\frac {3}{5}=\frac{7}{25}+\sin A.\sin B
\sin A.\sin B = \frac {8}{25}.
\tan A.\tan B = \frac {\sin A.\sin B}{\cos A.\cos B}

\tan A.\tan B = \frac{\frac{8}{25}}{\frac{7}{25}}

\tan A.\tan B = \frac {8}{7}. Jawab b.

Trigonometri

soal trigonometri (lagi)

Soal ini kami ambil dari buku pegangan siswa
1. Buktikan bahwa \sin54^{o}-\sin18^{o}=\frac{1}{2}

2. Buktikan bahwa \sin54^{o}.\sin18^{o}=\frac{1}{4}

3. Hitung nilai tanpa kalkulator \sin18^{o}

Pembahasan soal nomor 1

\sin(54)^{o}- \sin (18)^{o})=

2 \cos36 ^{o}\sin(18)^{o})=

2\cos36 ^{o}\sin(18)^{o} \frac{\cos 18^{o}}{\cos 18^{o}}=

2\frac{1}{2} \frac {\cos(36) ^{o}\sin(36)^{o}}{\cos 18^{o}}=

\frac {\cos(36) ^{o}\sin(36)^{o}}{\cos 18^{o}}=

\frac {1}{2} \frac {\sin(72)^{o}}{\cos 18^{o}}=

\frac{1}{2} \frac {\cos(18)^{o}}{\cos 18^{o}}=

\frac{1}{2}

Pembahasan soal nomor 2

\sin 54^{o}.\sin 18^{o}

= \sin 54^{o}.\sin 18^{o}\frac {\cos 18^{o}}{\cos 18^{o}}

= \sin 54^{o}.\frac {1}{2}\frac {\sin 36^{o}}{\cos 18^{o}}

=\frac {1}{2}\sin 54^{o}.\frac {\cos 54^{o}}{\cos 18^{o}}

= \frac {1}{2} \frac{1}{2}\frac {\sin 108^{o}}{\cos 18^{o}}

= \frac {1}{4} \frac {\sin 72^{o}}{\cos 18^{o}}

= \frac {1}{4}\frac {\cos 18^{o}}{\cos 18^{o}}

= \frac {1}{4}

Pembahasan soal nomor 3

Dari hasil nomor 1 dan 2 kita gunakan untuk menyelesaikan soal nomor 3, misalkan \sin 54^{o} = x dan \sin 18^{o}=y , maka dari soal nomor 1 kita peroleh x - y = \frac {1}{2} ...(1) dan dari soal nomor 2 kita peroleh x.y = \frac {1}{4}...(2). Subtitusi (1) pada (2) kita peroleh persamaan :
(y +\frac {1}{2})y = \frac {1}{4}
y^{2}+\frac {1}{2}y-\frac {1}{4}= 0
persamaan diatas dalam bentuk persamaan kuadrat sehingga kita selesaikan dengan cara rumus abc,
y_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

y_{1,2}=\frac {-\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}-4.1.(-\frac{1}{4})}}{2.1}

y_{1,2}=\frac {-\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}+1}}{2}

y_{1,2}=\frac {-\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{5}{4}}}{2}

y_{1,2}=\frac {-\frac{1}{2}\pm\frac{1}{2}\sqrt{5}}{2}

y_{1,2}=\frac {1}{4}(-1\pm\sqrt{5})

y_{1}=\frac {1}{4}(-1+\sqrt{5}) atau

y_{2}=\frac {1}{4}(-1-\sqrt{5})

karena 18^{o} ada di kuadran I maka nilai dari
\sin 18^{o}= \frac {1}{4}(-1+\sqrt{5})